diszkontinuitások

Diszkontinuitások a függvények olyan pontjai, ahol a függvény nem folytonos. Egy pont c-diszkontinuitás, ha a lim x→c f(x) nem létezik vagy nem egyezik meg f(c)-vel. Ezzel megkülönböztetünk több típust.

Eltávolítható diszkontinuitás: ha a határérték L létezik, de f(c) nem egyenlő L-vel, vagy f(c) nincs definiálva; a pont értékének helyesbítésével a függvény folytathatóan folyamatos lehet. Ugrásos diszkontinuitás: a bal és a jobb határérték létezik, de egymástól eltérőek; a függvény “ugrás” jellegű értéket vesz fel a c pont körül. Végtelen diszkontinuitás: a határ értéke a pont közelében végtelen felé tart, azaz lim x→c f(x) = ±∞. Esszenciális diszkontinuitás vagy oszcilláló diszkontinuitás: a határérték nem létezik a környezetben tapasztalható tartós oszcilláció vagy szélsőséges viselkedés miatt; például f(x) = sin(1/x) x→0 esetén, ahol a határérték nem létezik, és gyakran f(0) értékétől függetlenül fennáll a diszkontinuitás.

Példák: a Dirichlet-függvény minden ponton diszkontinuitást mutat; a Heaviside-függvénynek egy ugrásdiszkontinuitása van x = 0, a függvény bal és jobb határa létezik, de nem egyenlők. Körülírást ad a diszkontinuitásokkal kapcsolatos fogalmakról és példákon keresztül szemlélteti a határértékek és a függvényérték közötti viszonyt.

A diszkontinuitások halmazára vonatkozó tulajdonságok: például monoton függvények esetén a diszkontinuitások száma legfeljebb számlálható. A diszkontinuitások vizsgálata fontos a differenciálás, integrálás és mértéstan kontextusában, mivel meghatározza a függvény viselkedésének helyi és globális jellegét.