diskretisointitapoja

Diskretisointi on prosessi, jossa jatkuva malli, kuten differentiaaliyhtälöt tai signaalit, muutetaan diskreetiksi muodoksi, jotta sitä voidaan käsitellä tietokoneellisesti tai numeerisesti. Diskretisointi kattaa sekä tilallisen että ajallisen osan: tilallinen diskretisointi rakentaa verkon tai meshin, ajallinen puolestaan jakaa aikavälin erillisiin askeliin. Tavoitteena on säilyttää malliominaisuudet mahdollisimman tarkasti käytettävissä olevan laskentakapasiteetin puitteissa.

Tilallinen discretisointi muodostaa alueen pienemmiksi yksiköiksi ja määrittää muuttujien arvot näissä pisteissä. Esimerkiksi jäännöksiä tai virtaavia suureita arvioidaan ruudun, verkkonehdon tai solujen kautta. Aikallinen discretisointi puolestaan ottaa käyttöön aikapolun, jossa differentiaaliyhtälöiden ratkaisu kehittyy askel askeleelta. Yleensä valitaan aikäyrä ja aikaväli, ja käytetään sopivaa ajanintegraatiosääntöä.

Yleisimmät diskretisointitavat ovat Finite Difference Method (FDM), Finite Element Method (FEM) ja Finite Volume Method (FVM). FDM soveltaa erotuslaskelmia suoraan tilassa ja soveltuu yksinkertaisiin geometrioihin. FEM muuntaa ongelman variational muotoon ja rakentaa ratkaisun kappaleen pienistä elementeistä, mikä sopii monimutkaisille geometrioille ja anisotrooppisille materiaaleille. FVM painottaa conservatiivisuutta ja on yleinen fluidi- ja kokonaissummien mallinnuksessa. Spektriset menetelmät käyttävät globaaleja basisfunktioita ja voivat tarjota erittäin suurta tarkkuutta sujuville ratkaisuille.

Diskretisointitapojen valintaan vaikuttavat tarkkuusvaatimukset, vakaus, laskentakustannukset sekä geometrian monimutkaisuus. CFL-ehdon kaltaiset vakausvaatimukset ohjaavat aikasovelluksia. Diskretisointi on keskeinen työkalu monissa insinööri- ja luonnontieteissä, kuten lämpö- ja diffuusiomallinnuksessa, rakennesuunnittelussa sekä ilmastotutkimuksessa.