diskretisaatiomenetelmistä

Diskretisaatiomenetelmät ovat joukko numeerisia tekniikoita, joita käytetään jatkuvien ongelmien ratkaisemiseen muuttamalla ne diskreeteiksi. Tämä prosessi on välttämätön, koska monet matemaattiset mallit ja laskennalliset menetelmät toimivat parhaiten tai ainoastaan diskreettien arvojen kanssa. Yleisimmin diskretisaatiota sovelletaan differentiaaliyhtälöiden ja integraaliyhtälöiden ratkaisemiseen, jotka kuvaavat monia luonnonilmiöitä ja teknisiä prosesseja.

Yksinkertaisin diskretisaatiomenetelmä on Euelerin menetelmä, jossa jatkuva aikajana jaetaan pieniin askeliin ja yhtälön arvoja lasketaan askel kerrallaan. Tarkempia menetelmiä ovat esimerkiksi Runge-Kuttan menetelmät, jotka käyttävät useampia väliarvoja parantaakseen tarkkuutta. Tilallisessa diskretisaatiossa esimerkiksi rajapinta-arvo-ongelmissa jatkuva tila jaetaan usein hilaan, johon alkuperäinen yhtälö approksimoidaan. Tällaisia menetelmiä ovat esimerkiksi äärellisten erojen menetelmä (Finite Difference Method, FDM) ja äärellisten elementtien menetelmä (Finite Element Method, FEM).

FDM approksimoi derivaatat hila-pisteiden välisten erojen avulla, kun taas FEM jakaa alueen pienempiin elementteihin ja sovittaa ratkaisun yleensä polynomifunktioiden avulla kuhunkin elementtiin. Nämä menetelmät muuttavat jatkuvan ongelman suuren, mutta ratkaistavissa olevan, lineaarisysteemiksi tai epälineaariseksi yhtälöryhmäksi, jonka ratkaisemiseen voidaan käyttää tehokkaita numeerisia algoritmeja. Diskretisaatiomenetelmien valinta riippuu ongelman luonteesta, vaaditusta tarkkuudesta ja käytettävissä olevista laskentaresursseista.