discontinuité

Discontinuità è un concetto dell’analisi reale che descrive un punto in cui una funzione non è continua. Formalmente, una funzione f definita in un intorno di x0 è continua in x0 se lim_{x→x0} f(x) = f(x0); se questa condizione non è soddisfatta, x0 è un punto di discontinuità.

Si identificano tipologie principali: rimovibile, salto e essenziale. Una discontinuità rimovibile si verifica quando esiste il limite di f(x) per x→x0, ma quest’ultimo non coincide con f(x0) o f(x0) non è definita. Una discontinuità di salto si ha quando i limiti destro e sinistro esistono ma sono tra loro differenti. Una discontinuità essenziale è quella in cui almeno uno dei limiti non esiste o diverge a infinito, o si verifica oscillazione irregolare.

Esiste anche la famiglia delle discontinuità oscillanti, tipica di funzioni come f(x) = sin(1/x) in prossimità di x0 = 0, dove i limiti non hanno comportamento stabile.

In contesto topologico, continuità di una mappa tra spazi è definita in termini di preimmagine degli insiemi aperti; la discontinuità è il punto o l’insieme di punti in cui tale proprietà fallisce.

Le discontinuità hanno rilevanza pratica in matematica: influenzano comportamenti di integrazione, derivazione e espansione in serie; alcune possono essere rimosse mediante definizioni corrette, altre restano intrinsecamente discontinue.