directrixetäisyyden

Directrixetäisyys tarkoittaa pistettä vastaan suoraa, jota kutsutaan directrixiksi. Käytännössä se on pistettä lähinnä oleva etäisyys suoralle, eli pisteen ja suoran välinen kohtisuora etäisyys. Geometrian ja konikojen yhteydessä directrixetäisyyttä käytetään usein määritelmissä, joissa etäisyydet suhteutetaan toisiinsa.

Jos suora on osoitettua muotoa ax + by + c = 0 ja piste P(x0, y0), directrixetäisyys P:stä suoraan on d = |a x0 + b y0 + c| / sqrt(a^2 + b^2). Tämä on pistettä kohti suoraa kohtisuora etäisyys, ja se on ainoa pienin mahdollinen etäisyys pisteen ja suoran välillä.

Conic- eli koniikoiden yhteydessä etäisyyksiä directrixiin käytetään PF/PD -suhteen kautta. Tietyllä fokuksella F ja directrixilla D määriteltynä koniin voidaan määritellä pistejoukko PF = e · PD, jossa PF on pisteen P jaF-etäisyys sekä PD on etäisyys PD:stä directrixiin ja e on konin eksentrisyys. Tässä:

- e < 1 antaa ellipsin,

- e = 1 antaa para­bola, ja

- e > 1 antaa hyperbolan.

Esimerkki: para­bola, jonka pisteet ovat etäisyydellä PF = PD, voidaan saada standardimuodossa y^2 = 4 a x. Siinä fokus on F(a, 0) ja directrix on suora x = -a. Tämän parabola-ehdon mukaisesti PD = |x + a| ja PF = sqrt((x - a)^2 + y^2); yhtälö PF = PD johtaa lopulta muotoon y^2 = 4 a x.

Directrixetäisyyden käsite on keskeinen erityisesti koniikoiden määritelmässä ja piirtämisessä, sekä mitä tahansa suoraa vastaan kulkevan pistetason analysoinnissa.

---