diofanttiset

Diofanttiset yhtälöt ovat polynomiyhtälöitä, joiden ratkaisut ovat kokonaislukuja. Niiden kertoimet ovat kokonaislukuja, ja ongelmana on löytää kaikki ratkaisut tai osoittaa, ettei ratkaisua ole. Yhtälöitä voi olla lineaarisia tai epälineaarisia; lineaariset diofanttiset yhtälöt, kuten ax + by = c, ovat usein ratkaistavissa kokonaislukumenetelmillä, kun taas korkeamman asteen ja useamman tuntemattoman tapaukset voivat olla huomattavasti vaikeampia.

Tunnetuimpia esimerkkejä ovat Pellin yhtälö x^2 − D y^2 = 1, jossa D ei ole neliö, sekä Pythagoralainen yhtälö x^2 + y^2 = z^2. Laajemmassa kontekstissa diofanttisia ongelmia käsittelee number theory. Tärkeitä tuloksia ovat Fermatin viimeinen teoreema, jonka mukaan x^n + y^n = z^n ei ole ratkaisuja kolmen positiivisen kokonaisluvun välillä, kun n > 2, sekä Catalanin konjektuuri, jonka mukaan a^p − b^q = 1 on ainoa ratkaisu suuremmilla arvoilla (todettu vuonna 2002).

Historian näkökulmasta diofanttinen tutkimus saa nimensä antiikin kreikkalaisen matemaatikon Diophantuksen mukaan; hänen Arithmetica-teoksensa vaikutti lateraalisesti lukuteoriaan ja algebraan. 20. vuosisadalla Hilbertin kymmenes ongelma osoitti, ettei ole yleistä algoritmia kaikkien diofanttisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, ja tulos todistettiin Matiyasevichin sekä Davis- ja Putnam-ryhmän työssä. Nykyisin ratkaisuja etsitään sekä teoreettisesti että laskennallisesti elliptisten käyrien, modulariteetin ja muiden keinojen avulla, mutta monet diofanttiset ongelmat pysyvät avoimina.