differentiálhatóságát

A differenciálhatóság egy függvény azon tulajdonsága, hogy adott pontban létezik olyan lineáris közelítés, amelyhez a függvény értéke a pont környezetében leginkább lineárisan viszonyul. Formálisan: legyen f: R^n → R^m és a ∈ R^n. Ha létezik egy lineáris leképezés L: R^n → R^m, amelyhez

lim_{h→0} ||f(a+h) − f(a) − L(h)|| / ||h|| = 0,

akkor f differentiálható a pontban, és L-t nevezik a differenciálnak. Amennyiben m = 1, L-t gyakran a f érintőjének vagy a Jacobian általános formájának tekintik, és L(h) = ∇f(a)·h függvényben a gradiens és a lineáris közelítés kapcsolata kézenfekvő.

Egyszerű esetként egy változóra, f: R → R, a differenciálhatóság azt jelenti, hogy létezik a határérték

lim_{x→a} (f(x) − f(a)) / (x − a) = f′(a),

és a derivált f′(a) adja meg a legélesebb lineáris közelítőt.

Kapcsolat a folytonossággal: a differenciálhatóság differenciálható pontban biztosítja a folytonosságot, de a folytonosság nem garantálja a differentiálhatóságot. Például az f(x) = |x| nem differentiálható 0-ban.

Többváltozós esetben a differenciálhatóság f: R^n → R^m esetén a legsűrűbb leírás a Jacobian J_f(a), amely meghatározza a helyi lineáris közelítőt. A differenciálhatóság erősebb fogalom: Frechet-differenciálhatóság, amelyben a lineáris közelítő a legközvetlenebb értelemben meghatározott. További kapcsolódó fogalmak a C^k- vagy sima osztályok, és a Gateaux- vs. Frechet-differenciálhatóság. A differenciálhatóság központi eszköz az optimalizációban, differenciálkalkulusban és differenciálgeometriai összefüggésekben.