differensiaal

Differensial, ofte også kalt differensial i kortform, er et begrep som brukes i matematikk og teknikk for å beskrive små endringer i en variabel og hvordan disse endringene relaterer seg til hverandre gjennom en funksjon. Begrepet finnes også i uttrykk som differensialform og differensiallikning og har historisk forbindelse til begrepene infinitesimal og grense.

I kalkulus for en en-variabel funksjon y = f(x) er differensialen dy en liten forandring i y som svarer til en tilsvarende liten endring i x, dx, og er gitt ved dy = f'(x) dx. Her representerer dx den lille endringen i x, og f'(x) er den deriverte av f ved x. Differensialer kan ses som den lineære approksimasjonen av endringen i y nær et punkt.

For flere variabler, for eksempel y = f(x, z), blir differensialen df lokalt en lineær kombinasjon av små endringer i variablene: df = f_x dx + f_y dy + f_z dz, der f_x, f_y, f_z er de partialderiverte. Differensialene brukes i linearisering av funksjoner, feilanalyse ved målinger og som byggekloss i teorier som differensiallikninger og differensialgeometri.

Anvendelser spenner fra praktiske beregninger ved viten og teknologi til teoretiske rammer som 1-former og integrasjon langs kurver. Historisk ble differensialer utviklet av blant andre Newton og Leibniz og senere gjort formelt gjennom limitbegreper.