diagonalisérbar

Diagonalisérbar betyder i lineær algebra, at en kvadratisk matrix kan skrives som en diagonal matrix i en anden basis. En matrix A over et felt F er diagonalisérbar, hvis der findes en invertibel P over F sådan at P^{-1}AP = D, hvor D er diagonal. Den diagonale form gør beregninger af A og af funktioner af A nemmere, fordi styrken tilhører lige præcis de egenværdier, som diagonaliserer A.

Kendetegn og kriterier: A er diagonalisérbar over F hvis og kun hvis V har en basis bestående af egenvektorer til A, dvs. summen af dimensionerne af eigenspace E_λ for alle eigenværdier λ er lig med n. Det svarer til at den minimale polynomielle M_A splittes i lineære faktorer i F uden gentagelser. Som et enkelt kriterie gælder: hvis A har n forskellige egenværdier i F, så er den diagonalisérbar over F.

Forskelle mellem felter: Diagonalisérbarhed afhænger af feltet. En matrix kan være ikke diagonalisérbar over R, men diagonalisérbar over C; for eksempel rotationsmatricen i R^2 er ikke diagonalisérbar over R, men diag over C, hvis vinklen ikke er 0 eller π.

Anvendelser: Når A er diagonalisérbar, kan man beregne funktioner af A ved f(A) = P f(D) P^{-1}, og potenser ved A^k = P D^k P^{-1}. Dette gør det muligt at arbejde med netop den diagonale repræsentation af A.