diagonaliserer

Diagonaliseringsprosessen i lineær algebra innebærer å finne en invertibel matrise P og en diagona matrisen D slik at P^{-1} A P = D for en gitt kvadratisk matrise A over et felt. Hvis slike P og D eksisterer, sies A å være diagonaliserbar, og kolonnene i P utgjør en basis bestående av egenvektorer for A. Da blir A satt i sin enkleste form for videre beregninger.

Egenverdier og egenvektorer står sentralt i diagonaliseringsproblemet. En løsning gir at for hver eigenverdi λ oppfyller A v = λ v for en ikke-null v, og vene tilhørende eigenverdier danner en grunnleggende egenskapsramme. En matrise er diagonaliserbar hvis og bare hvis den har n lineært uavhengige egenvektorer i en n×n kontekst, hvilket er lik at den rekkrer opp helt og fullt med egenrom som summerer til dimensjon n. Vær oppmerksom på forskjellen mellom algebraisk og geometrisk multiplicitet: for hver eigenverdi må den geometriske multipliciteten være lik eller større enn 1, og summen av dimensjonene til egenrommene må være n.

Spesielle tilfeller og konsekvenser. Realt symmetriske matriser er alltid diagonaliserbare ved ortogonal transformasjon (spectral theorem); dette gjelder også komplekse Hermitske matriser ved en enhetsdetektor. Dette gir en orthonormal basis av egenvektorer og en diagonalisering med P som et ortonormalt eller enhetsbilde.

Metoder og begrensninger. For å diagonaliserer A, beregnes først eigenverdiene og deretter tilhørende egenvektorer, og P settes sammen av disse eigenvektorene. Dersom noen eigenverdi mangler nok egenvektorer (defekt), er A ikke diagonaliserbar over feltet. I slike tilfeller kan man bruke Jordan-form eller Schur-dekomposisjon i stedet for diagonal form.

Anvendelser. Diagonaliserte matriser forenkler beregninger av potensfunksjoner og generelle matrisefunksjoner, løsning av lineære differensialligninger, kvantemekanisk analyse og grafiske transformasjoner, der A kan behandles som en kombinasjon av dens egenvektorer og skalarer.