determinantele

Determinantele reprezintă o funcție scalară asociată fiecărei matrice pătrate A de ordine n, care măsoară efectul transformării liniare reprezentate de A asupra spațiului vectorial. Pentru o matrice A de ordin n, determinantul poate fi exprimat printr-o sumă alternantă pe permutări: det(A) = ∑_{σ∈S_n} sgn(σ) ∏_{i=1}^n a_{i,σ(i)}. Pentru cazul simplu n=2, det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc. Alternativ, determinantul poate fi calculat prin descompunerea LU sau prin produsul elementelor pe diagonala în matrice triunghiulare.

Proprietăți principale ale determinantului: det(I) = 1; det(AB) = det(A) det(B); det(A^T) = det(A); det(kA) = k^n det(A) pentru scalar k și matrice A de ordin n; det(A) = 0 dacă A este singular; det(A) ≠ 0 dacă A este invertibil. În cazul matricelor triunghiulare (superioare sau inferioare), det(A) este produsul elementelor de pe diagonala.

Interpretări și aplicații: |det(A)| este factorul de scalare al volumului sau al paralelipipedului corespunzător transformării A; semnul determinantului indică schimbarea de orientare. În schimbări de variabile în calculul integralelor, determinantul jacobianului apare ca factor de scalare. Dacă A are ca eigenvalues λ_i, atunci det(A) = ∏ λ_i.

Aplicațiile principale includ verificarea inversibilității unei matrice, rezolvarea sistemelor liniare, analiza transformărilor geometrice și studiul tuturor proprietăților legate de scalări și orientare ale transformărilor liniare.

Istoric: conceptul de determinant a fost dezvoltat în secolele XVII–XVIII în contextul algebrei liniare, fiind atribuit unui grup de matematicieni care au introdus metode pentru calculul său și interpretările geometrice fundamentale.