derivacije

Derivacije su temeljni pojam u analizi promjene. U matematici, derivacija funkcije f(x) u točki x predstavlja trenutnu stopu promjene vrijednosti f s obzirom na promjenu ulaza, odnosno nagib tangente na grafu u toj točki. Derivacija povezuje mali pomak u x s odgovarajućom promjenom f(x) i služi kao ključ za razumijevanje brzina, linearizaciju i mnoge druge analize promjena.

Notacija i interpretacija: Derivaciju se često označava f′(x) ili dy/dx; za funkcije više varijabli koriste se parcijalne derivacije ∂f/∂x, a gradient ∇f opisuje najveći porast funkcije. Derivacije pružaju lokalnu aproksimaciju i služe u procjeni osjetljivosti sustava.

Kako se izračunava: definicija granice: f′(x) = lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)]/h. Postoje pravila diferenciranja koja olakšavaju izračunavanje: pravilo potencije, pravilo zbrajanja, pravilnost proizvoda, kvocijentno pravilo i lančano pravilo. Primjeri: ako je f(x) = x^n, onda f′(x) = n x^{n−1}.

Više derivacije i konstrukti: druga derivacija, f″(x), opisuje stopu promjene brzinе promjene; u fizici se tumači kao ubrzanje. U višedimenzionalnoj funkciji, Hessian matrica koristi se za ispitivanje konveksnosti i za optmiziaciju. U područjima poput ekonomije, derivacije služe za analiza marginalnih promjena i osiguravanje optimalnosti.

Prijave: derivacije su ključne u fizici, inženjerstvu, ekonomiji, biološkim i društvenim znanostima te u mnogim računsko–teorijskim metodama. Napomena: izraz derivacije također se koristi u lingvistici kao proces formiranja novih riječi od postojećih morfema; u ovom članku naglasak je na matematičkim derivacijama.