derivaattioita

Derivaatta on keskeinen käsite differentiaalilaskennassa. Se kuvaa funktion muutosnopeutta eli kuinka nopeasti funktion arvo muuttuu, kun sen muuttujan arvo muuttuu. Yksinkertaisimmillaan derivaatta kertoo funktion kuvaajan tangenttisuoran kulmakertoimen tietyssä pisteessä.

Matemaattisesti funktion f(x) derivaatta pisteessä x merkitään yleensä f'(x) tai dy/dx. Se määritellään raja-arvona erotusosamäärälle: f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h. Tämä raja-arvo on olemassa, jos funktio on derivoituva kyseisessä pisteessä.

Derivaattoja käytetään monilla tieteen ja tekniikan aloilla. Niiden avulla voidaan ratkaista optimointiongelmia, kuten etsiä funktion maksimi- ja minimikohtia. Fysiikassa derivaatta kuvaa esimerkiksi nopeutta ajan suhteen ja kiihtyvyyttä nopeuden suhteen. Taloustieteessä derivaattoja voidaan käyttää marginaalikustannusten ja -tulojen laskemiseen.

Tunnetuimpia derivaattojen laskusääntöjä ovat potenssin derivointi, summan ja tulon derivointi sekä yhdistetyn funktion derivointi eli ketjusääntö. Myös trigonometristen funktioiden, logaritmien ja eksponenttifunktioiden derivaatat ovat tärkeitä. Derivaattojen laskeminen on olennainen osa monimutkaisempien matemaattisten ongelmien ratkaisua.