derivaatioformit

Derivaatioformit ovat korkeampien derivaattojen yleistyksiä smoothiin funktioihin. Ne kuvaavat funktion paikallista käyttäytymistä muodossaan symmetrisesti k-linearit muodot, jotka ottavat tangenttien vektoreita ja palauttavat luvun. Epäselvyyden välttämiseksi niitä voidaan pitää tapana tallentaa k-th derivativein tieto kokonaisvaltaisesti.

Ensimmäinen derivaatio, df_p, on 1-formi eli differentiaalimuoto, joka määrittelee gradientin suunnan ja arvojen muutoksen nopeuden. Toinen derivaatio, D^2 f(p), on Hessian, symmetrinen bilineaarimuoto, joka kuvaa kohtisuoraista curvatureia ja muistuttaa toisen kertaluvun termiä Taylorin lauseessa. Ylempien derivaattojen D^k f(p) varten saadaan symmetrinen k-linearimuoto TpM × ... × TpM → R, ja niitä kutsutaan derivaatioformien k:ksi. Ne muodostavat kokonaisuuden, joka kattaa funktion käyttäytymisen tarkemmin kuin pelkkä gradientti.

Käytännössä derivaatioformit liittyvät läheisesti Taylorin lauseeseen. Funktio f puoleltansa paikallinen arvo voidaan kirjoittaa f(p+h) ≈ f(p) + Df_p(h) + 1/2 D^2 f_p(h,h) + ... + 1/k! D^k f_p(h,...,h). Ensimmäistä derivaatioa vastaa 1-formi, toista Hessian, ja korkeammat derivaatioformit muodostavat symmetrisen k-tensorin. Ne voidaan nähdä myös osana jet- ja tensoriteoriaa.

Sovelluksia ovat optimointi, herkkyysanalyysi, diffrentiaaligeometria ja numeeriset menetelmät, joissa korkea-asteiset derivoidut termit parantavat mallinnusta ja estimointia. Esimerkki: f(x)=x^2, pisteessä p=0 Df_p = 0 ja Hessian D^2 f_p = 2, kun taas korkeammat derivaatioformit ovat nolla. Derivaatioformit tarjoavat yhden yhtenäisen tavan käsitellä ja järjestää näitä informaation tasoja.