cylindricalkoordinaatteja

Cylindricalkoordinaatteja ovat kolmiulotteisen tilan koordinaatisto, jossa pisteen位置 voidaan määrittää kolmikolla (r, φ, z). Tässä r on etäisyys z-akselista, φ on kulma z-akselin ympäri ja z on korkeus z-akselin suhteen. R:n arvo on r ≥ 0 ja φ tavallisesti valitaan välillä 0 ≤ φ < 2π. Tämä koordinaatisto on erityisen hyödyllinen tilanteissa, joissa tilallinen symmetria on säteittäinen ympyrän ympäri.

Geometrisesti constant r -pinnoitteet ovat kapeita ympyräköllyjä (kierrettäviä kappaleita) z-akselin ympäri; constant φ -pinnoitteet ovat puoliläpikulkuja, jotka leikkaavat z-akselin. Constant z -pinnoitteet ovat tasoja, jotka ovat vaakatasossa xy-tason kaltaisia. Näin cylindricalkoordinaatit soveltuvat ilmiöihin, joissa ympyrä- tai pylväslyönti määrää geometrian.

Muunnettaessa koordinaatit karttaan x, y, z saadaan x = r cos φ, y = r sin φ, z = z. Päinvastoin r = sqrt(x^2 + y^2) ja φ = atan2(y, x). Tämä mahdollistaa siirtymisen helposti kumpaankin koordinaatistoon riippuen tehtävästä.

Ruumi ja differentiaalilaskennan kannalta cylindricalkoordinaatit tuovat tilan mittaus- ja laskutoimituksissa erityisesti rajoitetut ja aksiaalista symmetriaa omaavat ongelmat: lineaarinen etäisyys ds voidaan kirjoittaa ds^2 = dr^2 + r^2 dφ^2 + dz^2, ja tilavuusmalli on dV = r dr dφ dz. Esimerkiksi Volume-elementti ja gradientin, divergencian sekä Laplaasien lausekkeet muuttuvat säteen r mukaan, koska kääntyvä yksikkövektori riippuu φ:stä.

Koordinaatteihin liittyy myös yksikkövektoreiden φ:n riippuvuus, mikä aiheuttaa erityispiirteenä kääntymisen ja potentiaalisen nurinnomaisuuden r=0-koordinaatiston läheisyydessä. Siksi r = 0 kohdassa φ ei ole määritelty täysin. Cylindricalkoordinaatit ovat kuitenkin yleisesti käytetty työkalu ongelmissa, joissa ympyrä- tai pylvässymmetria hallitsee tilaa.

---