chitvåfördelningen

Chi-tvåfördelningen, ofta kallad chi-squaredfördelningen eller χ²-fördelningen, är en sannolikhetsfördelning som uppstår som summan av kvadraterna av k oberoende standardnormalfördelade variabler. Om Z1, …, Zk är standardnormalfördelade och oberoende så är X = Σ Zi^2 en χ²-fördelning med degrees of freedom (df) k.

Den sammanlagda fördelningen har en teoretisk täthetsfunktion f(x; k) = 1/(2^{k/2} Γ(k/2)) x^{k/2 - 1} e^{-x/2}, för x > 0 och k > 0. Förväntat värde är E[X] = k och variansen Var(X) = 2k. Chi-tvåfördelningen är därmed en gammafördelning med shape-kvoten k/2 och scale 2, det vill säga X ~ Gamma(shape = k/2, scale = 2).

Fördelningen används i många statistiska tillämpningar, särskilt inom hypotesprövning. Den fungerar som teststatistiska variabeln i goodness-of-fit-tester, tester av oberoende i kontingenstabeller och i uppskattningar av varians när populationen antas vara normalfördelad. När df ökar blir chi-tvåfördelningen mer symmetrisk och närmar sig en normalfördelning med medelvärde k och varians 2k (via centralgräns-satsen).

Vanliga variationer inkluderar icke-central chi-två-fördelningen (vid icke-noll icke-central parameter) och standardiserade former som används i olika statistiska tester. Chi-tvåfördelningen är ett centralt verktyg för att bedöma modellers passa och samband i data.