bázisválasztás

Bázisválasztás a lineáris algebrában a vektortér egy bázisának kiválasztását jelenti. A bázis olyan vektorokból álló halmaz, amely lineárisan független, és amelynek elemeinek lineáris kombinációival minden térbeli vektor előállítható. A bázis kiválasztása meghatározza, hogyan írjuk fel a vektorokat koordinátákkal, és milyen számítási és geometriai tulajdonságok nyílnak meg a térben.

Egy n-dimenziós vektortérben a bázis pontosan n elemből áll. A különböző bázisok ugyanannak a térnek az alapjai, így minden vektort a kiválasztott bázison belül is fel lehet írni. A bázis kiválasztása meghatározza a koordinátákat és a belső szerkezeteket, például az ortogonallitást vagy az ortonormalitást, amely megkönnyítheti a számításokat és a geometriai értelmezést.

Gyakori típusok közé tartozik a standard (vagy egység) bázis, amely a térben a konvencionális koordinátákat adja, valamint az ortogonális és ortonormált bázisok, amelyeknél a vektorok egymással szögben megfelelően állnak és egységnyi hosszúak. Ha egy lineárisan független halmazból indulunk ki, a Gram–Schmidt eljárással ortonormált bázist lehet létrehozni. A bázisok közötti átalakításokat változási mátrixokkal írjuk le; a különböző bázisok közötti összefüggések koordinátacserével érhetők el.

Alkalmazások széles köre van: lineáris egyenletrendszerek megoldása, diagonalisálás, sajátérték- és rang-számítások, projekciók és különböző reprezentációk megkönnyítése a vektortereket érintő feladatokban. Összességében a bázisválasztás alapvető eszköz a dimensionalitás és a reprezentáció kézbentartásában.