bisektionsmetoder

Bisektionsmetoder är en klass av numeriska metoder för att hitta rötter till kontinuerliga funktioner f där f(a) och f(b) har motsatta tecken, vilket garanterar minst en rot i intervallet [a, b] enligt betweeness-teoremet. Den enkla metoden bygger på uppdelning av intervallet i hälften och kontinuerlig urval av halvorna som fortfarande innehåller en rot.

Algoritmen är följande: välj ett startintervall [a, b] sådant att f(a)·f(b) ≤ 0. Iterera: beräkna c = (a + b)/2 och utvärdera f(c). Om f(c) = 0 stoppar du. Annars bestäms vilket delintervall som fortfarande innehåller en rot: om f(a)·f(c) ≤ 0 sätt b = c, annars sätt a = c. Fortsätt tills intervallets längd |b − a| är mindre än toleransen eller tills |f(c)| är tillräckligt nära noll.

Egenskaper: metoden har garanti för konvergens så länge f är kontinuerlig på [a, b] och f(a)·f(b) ≤ 0. Konvergenshastigheten är linjär; varje steg halverar storleken på intervallet. Den behöver inga derivator, vilket gör den robust mot funktionsfel och diskontinuitetsproblem i närheten av roten.

Begränsningar och varianter: jämfört med andra metoder är bisektion relativt långsam. Den fungerar endast om en rot finns i intervallet och signändringen uppfylls; med flera rötter kan den konvergera mot någon av dem. Variationsmetoder som regulafalsen (false position) och dess förbättringar (Illinois, Pegasus) är avsedda att snabbare hitta rötter genom linjär interpolation istället för ren halvering. Användningsområden omfattar grundläggande root-finding i vetenskap och ingenjörsvetenskap där stabilitet och behov av minimal information om f:s form prioriteras.

---