binäärimuodoista

Binäärimuoto on homogeeninen polynomi kahdella muuttujalla x ja y, jonka aste on n. Yleinen muoto kirjoitetaan f(x,y) = a0 x^n + a1 x^{n-1} y + ... + an y^n, jossa kertoimet a_i ovat lukuja. Binäärimuodot esiintyvät sekä algebrassa että invarianttiteoriassa ja niitä tarkastellaan erityisesti lineaaristen muuttomuunnosten alla.

Esimerkkejä: asteen 2 binäärinen muoto on f(x,y) = a x^2 + b x y + c y^2. Asteen 3 muoto voi olla f(x,y) = a x^3 + b x^2 y + c x y^2 + d y^3. Kun muuttujia x ja y korvataan lineaarisesti invertiblellä 2×2-matriisilla, muoto f muuttuu uuteen muotoon f'. Tällaisia muunnoksia tarkasteltaessa kaksi muotoa sanotaan GL2-yhtäarvoisiksi, jos ne ovat toisistaan saatavilla olevan lineaarisen muunnoksen kautta.

Invariance ja rakenteet: binäärimuodoilla on muunnoksista riippumattomia tunnuslukuja, kuten discriminantti, joka kvadraattisille muodoille on d = b^2 - 4ac. Yleisemmin tutkitaan invariansseja ja covariantteja, jotka kuvaavat, miten muotoja voidaan kytkeä toisiinsa lineaaristen muunnosten avulla ja miten niiden ominaisuudet säilyvät.

Historia ja sovellukset: binäärimuotoja tutkittiin 1800-luvulla klassisessa invarianttiteoriassa; erityisesti binääriset kvadratiset muodot liittyivät lukujen esityksiin ja luokitteluun Gaussin työssä. Nykyään binäärimuotoja käytetään algebraan ja lukuteoriaan liittyvissä ongelmissa sekä algebraattisessa geometriassa ja projektio-geometrian kontekstissa, missä ne auttavat ymmärtämään polynomien symmetrioita ja lineaarisia muunnoksia.

Lisätietoja: klassisen invarianttiteorian ja projektio-geometrian yhteydet sekä korkeampien astelajien binary forms -käsite.