binomialutvikling

Binomialutvikling er prosessen med å utvide et binomium av formen (a + b) opphøyd i en ikke-negativ heltallseksponent n. Utviklingen gir en polynom i a og b med n+1 ledd: (a + b)^n = sum fra k=0 til n av binomialkoeffisienten C(n,k) ganger a^{n-k} b^k. Her er C(n,k) = n! / (k! (n-k)!), altså binomialkoeffisienten.

Koeffisientene i utviklingen kalles binomialkoeffisienter og finnes også i Pascal's trekant. Koeffisientene har symmetri C(n,k) = C(n,n-k), og de teller blant annet antallet måter å velge k elementer fra en mengde på n elementer. Denne kombinasjonstolkningen gir en intuitiv forståelse av hvorfor tallene forekommer i hvert ledd.

Generell binomialutvikling kan også utvides til ikke-negativt heltall eller til og med generelle eksponenter i en uendelig rekke. Den generelle binomialteoremet sier at (1 + x)^{α} = sum fra k=0 til ∞ av binom(α,k) x^k for |x| < 1, der binom(α,k) = α(α-1)...(α-k+1)/k!. Når α er et ikke-negativt heltall, skjer rekken å stoppe etter k = α og gir den vanlige, endelige binomialutviklingen.

Binomialutviklingen har mange bruksområder i algebra, kombinatorikk, sannsynlighet og analyse. Den brukes til å forenkle polynomutvikling, til å beregne sannsynlighetsfordelinger og tilnærminger av funksjoner ved polynomier. Som et enkelt eksempel gir (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1, og disse koeffisientene følger Pascal’s trekant.