binomialutviklingen

Binomialutviklingen er utvidelsen av et binomialuttrykk, vanligvis skrevet som (a+b)^n, der n er et ikke-negativt heltall. Resultatet består av en sum av termer der hver term har en binomialkoeffisient.

I binomialteoremet er utvidelsen gitt ved (a+b)^n = sum_{k=0}^n binom(n,k) a^{n-k} b^k, der binom(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Koeffisientene kan leses av Pascals trekant, et verktøy som viser forholdet mellom termer.

Binomialkoeffisientene har en kombinatorisk tolkning: binom(n,k) teller antall måter å velge k elementer fra en mengde med n elementer. Koeffisientene er symmetriske, slik at binom(n,k) = binom(n,n-k). For eksempel gir (x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3 x y^2 + y^3.

Utvidelser og anvendelser: Når n er et ikke-negativt heltall, er formelen nøyaktig. Det finnes også en generell binomialutvikling for andre eksponenter: (1+x)^α = sum_{k=0}^∞ binom(α,k) x^k, der binom(α,k) = α(α-1)...(α-k+1)/k!, og serien konvergerer for |x|<1. Binomialutviklingen brukes bredt i algebra, sannsynlighet, kombinatorikk og analyse, og ligger til grunn for beregning av polynomutviklinger og serier.