binomialkoeffisientenes

Binomialkoeffisientenes er en gruppe tall som beskriver antallet måter å velge k elementer fra en n-elementmengde uten å ta rekkefølgen i betraktning. For ikke-negative heltall n og k med 0 ≤ k ≤ n er binomialkoeffisienten definert som C(n, k) = n! / (k! (n−k)!). Dersom k < 0 eller k > n er den definert som 0. Generelt kan man også uttrykke det ved gamma-funksjonen for ikke-heltall n, noe som utvider begrepet til større generaliseringer.

Egenskapene til binomialkoeffisientene inkluderer symmetri: C(n, k) = C(n, n−k). De følger også Pascal-regelen: C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k), som danner Pascal-treet og gjør det mulig å bygge verdier rekursivt. Disse tallene er også kolonner og rader i Pascal-treet og gir en kompakt måte å lagre kombinasjonsinformasjon på. I tillegg opptrer de i summen over alle k: ∑_{k=0}^n C(n, k) = 2^n.

Binomial-koeffisientene er sentrale i binomialsetningen: (x + y)^n = ∑_{k=0}^n C(n, k) x^{n−k} y^k. Dette gjenspeiler hvordan binomialkoeffisientene fordeler makt mellom termer i et binomialuttrykk. Eksempel: C(5, 2) = 10. Anvendelser spenner fra sannsynlighet og statistikk til kombinatorikk og beregning av utvalg i ulike kontekster.