binomialfordeling

Binomialfordelingen beskriver sannsynligheten for antall vellykkede utfall i n uavhengige Bernoulli-forsøk, der hvert forsøk har to utfall: suksess og feil. Sannsynligheten for suksess i hvert forsøk er konstant og angis av p (0 ≤ p ≤ 1).

Hvis X er antall suksesser i n forsøk, er X binomialfordelt med parametrene n og p. Sannsynligheten for k suksesser er P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}, for k = 0,…,n.

Forventning og varians: E[X] = np, Var[X] = np(1-p).

Antakelser: faste antall forsøk n, uavhengige forsøk og konstant sannsynlighet p i hvert forsøk.

Bruksområder: benyttes til modellering av antall vellykkede i kvalitetskontroll, biostatistikk, genetikk og andre områder der man ser etter et bestemt antall suksesser i repeterte forsøk.

Tilnærminger: normaltilnærming når n er stor og p ikke er nær 0 eller 1, der X≈N(np, np(1-p)). Poisson-tilnærming brukes når n er stor og p er liten, med λ = np.

Eksempel: X ~ Binomial(10, 0.5). Sannsynligheten for nøyaktig 5 suksesser er P(X=5) = C(10,5) 0.5^{10} ≈ 0.246.