barriärfunktionen

Barriärfunktionen är ett verktyg inom optimering som används för att hantera ojäknhetsvillkor av typen g_i(x) ≤ 0. Den bidrar med en term som straffar när lösningen närmar sig gränsen för den tillåtna regionen så att iteraten förblir inom den inre domänen. Barriären går i allmänhet mot +∞ när någon gräns närmar sig att brytas.

Vanligtvis används en barriär φ(x) tillsammans med mål-/kostnadsfunktionen. För ett problem som minimerar f(x) under ojäknhetsvillkor g_i(x) ≤ 0 skrivs den nya funktionen som Fμ(x) = f(x) + μ φ(x) med μ > 0. För varje fixed μ är målfunktionen straffad närmare gränsen, vilket gör att optimala lösningar håller sig i inre delen av området. Vidare används ofta algoritmer som följer den så kallade centrala banan när μ minskar mot noll, vilket leder till att lösningen närmar sig det sanna optima under restriktionerna.

Typiska barriärer är den logaritmiska barriären φ(x) = -∑ log(-g_i(x)) för ojäknhetsvillkor där g_i(x) < 0. För specifika problem används särskilda barriärer, till exempel log-determinantbarriären φ(X) = -log det X i semidefinita programmering. Självkonkordanta barriärer är viktiga i teoretisk analys och i Newton-liknande inrepunktsmetoder.

Barriärmetoder har fördelen att hålla iteraten i den giltiga regionen, ge bra numerisk stabilitet och vara effektiva för konvexa problem. De står ofta i kontrast till ren penalty- eller överkorsningsmetoder och är centrala inom modern konvex och numerisk optimering.