axiomatizálást

Axiomatizálás a tudományos elméletek alapjainak formális megfogalmazását jelenti. Ennek során a vizsgált területet egy formális nyelvre leírják, axiómáknak nevezett kiinduló tételek és levezetési szabályok összessége pedig meghatározza, hogyan lehet a további állításokat ezekből az alapelvekből levonni. A cél a gondolkodási keret átláthatósága és a bizonyítások megbízhatósága, illetve a rendszer konzisztenciájának biztosítása.

Alapvető elemei a formális nyelv, definíciók, axiómák és a levezetések szabályai. A keret típusa szerint lehet elsőrendű vagy magasabb rendű logika, s a nyelv a matematika különböző területeire adaptálható.

Példák: Peano-axiómák az egész számokra és az aritmetikára; a Zermelo–Fraenkel halmazelmélet (ZF) a modern matematika általános alapja; Eukleidész geometria axiómái a sík és tér geometriájának formális alapját jelentik.

Kapcsolódó fogalmak közé tartozik a konzisztencia, a teljeség és a függetlenség értelmezése; a modell-elmélet és a bizonyításelmélet eszközei segítik a rendszer megfelelésének és korlátainak vizsgálatát. Gödel-féle tétel kimondja, hogy ha egy elég erős, konzisztens és rekurzívan felsorolható axiomatikus rendszer, akkor nem lehet teljes: bizonyos igaz állítások nem bizonyíthatók belőle.

Jelentősége: az axiomatizálás egységes, ellenőrizhető alapokat teremt a matematikában és más tudományágakban, és lehetővé teszi a különböző modellek vizsgálatát és összehasonlítását.