modellelmélet

Modellelmélet a matematikai logika egyik alapvető ága, amely a formális nyelvek és ezek értelmezései, vagyis a modellek közötti viszonyokat vizsgálja. A nyelv egy jelölésrendszer, amelyben mondatokat fogalmazunk meg; egy struktúra (modell) pedig ezt a nyelvet értelmezi, az egyes jelölésekhez hozzárendelve a releváns objektumokat és kapcsolataikat. Egy elmélet olyan mondatok halmaza, amelyet egy vagy több modell kielégít. A kielégítés fogalma adja meg, hogy adott modellben egy mondat igaz-e vagy sem.

A legfontosabb fogalmak közé tartozik a nyelv (signature), a struktúra, az elmélet és a kielégítés. Kiemelkedő szerepet játszanak az elemi ekvivalencia (két modell ugyanazokat a mondatokat teszi igazságnak), az elemi alstruktúra és az elemi beillesztés fogalmai.

Fontos tételként a kompaktosság és a Löwenheim–Skolem-tétel hordozza a keretet: a kompaktosság szerint egy elmélet akkor és csak akkor szarkasztikusan kielégíthető, ha minden véges alhalmaza is kielégíthető; a Löwenheim–Skolem-tétel pedig biztosítja, hogy végtelen modelljei bizonyos dátumokkal minden nagy kardinális méretekben léteznek.

Példák: az algebrailag zárt testek elmélete teljes és eldönthető, kvantor eliminációja van; a valódi zárt testek elmélete is teljes és elutasítja a kvantorok általános eliminációját. A modelllelmélet a DLO (sűrű lineáris rendek véges pont nélkül) vagy a valós zárt mezőkről szóló tételek területén is megújuló eredményeket ad. Történetileg a 20. század közepén kezdett kibontakozni, később a stabilitás- és tamenesselméletek terében mélyebb struktúrákat tártak fel. Alkalmazásai széles körűek az algebrai geometriától a számelméletig.