antisymetrický

Antisymetrický (často také označovaný jako skew-symmetric) je pojem používaný v matematice a souvisejících oborech k popisu vlastnosti, která se týká obousměrného vztahu mezi objekty. Obecně se jedná o to, že pokud dva objekty spolu souvisejí a vzájemně si působí opačně, nastává určitá omezená podmínka. V nejběžnějším kontextu binárních relací platí: relace R na množině X je antisymetrická, pokud pro všechna x, y v X platí, že xRy a yRx implikují x = y. Na rozdíl od toho je relace symetrická, pokud xRy vždy implikuje yRx bez ohledu na rovnost.

V kontextu matic a lineární algebry se pojem antisymetrie používá pro matice, které jsou skew-symmetric: A^T = -A. Z toho vyplývá, že diagonální prvky jsou nulové a a_ij = -a_ji pro všechna i, j. Příkladem je 2×2 matice [ [0, a], [-a, 0] ]. Tato vlastnost se uplatňuje i u komplexních matic a v souvislosti s růzými konstrukcemi ve formální geometrii a teorii matic.

V tensorové a geometrické teorii se antisymetrie vysvětluje jako úplná změna znaménka při výměně dvou indicií (totálně antisymetrické tensory, například Levi-Civita symbol ε_ijk). Antisymetrie má význam v diferenciálním počtu, determinantách a ve vyjádření zákonů fyziky prostřednictvím exteriérové algebry.

Shrnuto: antisymetrický popisuje, že určitá vzájemná vazba omezuje opačnou souvislost na jediné možné rovnosti, nebo že prvky matice či tensoru mění znaménko při výměně indicií.