aliryhmästä

Aliryhmästä on suomenkielisen sanan aliryhmä (ali- tarkoittaa alapuolella, sub-) elatiivin taivutusmuoto. Tämä muoto tarkoittaa kieliopillisesti lähdettä tai alkuperää: esimerkiksi lauseessa se voi tarkoittaa "aliryhmästä" jotakin peräisin olevaa tai siitä tapahtuvaa. Matematiikassa aliryhmä on kuitenkin vakiintunut termi, joka viittaa tiettyyn alijoukkoon jaetaan ryhmäteoriaan.

Aliryhmä tarkoittaa joukkoa H, joka on aliryhmä suuremmasta ryhmästä G. Siis H on osajoukko, joka on itsenäisesti ryhmä kyseisellä samalla operaatiolla kuin G, ja sen on täytettävä kolme ehtoa: sisältää G:n identiteettielementin, sulkeutua operaation suhteen (jos a ja b kuuluvat H, niin a b kuuluu H), sekä sille on olemassa käänteisalkiot jokaiselle H:n alkiolle. Kirjoitetaan usein H ≤ G tai H ⊴ G rivien mukaan, riippuen siitä, onko H vain aliryhmä vai normaali aliryhmä.

Esimerkkejä: Z,+-ryhmässä 2Z = {…, -4, -2, 0, 2, 4, …} on aliryhmä; S3-ryhmässä H = {e, (12)} on aliryhmä, jossa e on identiteetti ja H on suljettu.

Vierailmat ja rakenteet: Jokainen aliryhmä H määrittää vasen ja oikean kertolcosetit gH ja Hg, ja kun H on normaali, muodostuu kertaluvun ryhmä G/H eli kertaryhmä. Aliryhmät ovat keskeisiä rakenteita sekä ryhmien rakenteen tutkimuksessa että sovelluksissa, kuten symmetriöiden ja käänteismuutosten analyysissä.