alatriangularmatriisit
Alatriangularmatriisit ovat n×n-matriiseja, joissa kaikki päädiagonaalin yläpuoliset elementit ovat nollia. Toisin sanoen aij = 0 kaikilla i < j, jolloin matriisi voi olla epäeroon kaikissa alemmassa kolmiokohdassa (i ≥ j). Tällaiset matriisit ovat alempiamatriisisia eli alaimatrisen rakenteen omaavia.
Alatriangularmatriisien perusominaisuudet
- Ne muodostavat vakiakenttäalijoukon Mat(n) yli, eli niitä voidaan lisätä ja kertoa skalaareilla pelkäämättä poistumasta alatriangularimuodosta. Lisäksi
- Determinantti on diagonaliosien tulo, eli det(A) = ∏i aii. Tämä antaa välittömästi tiedon käänteisyydestä: matriisi on kääntyvää,
- Käänteismatriisi, kun se on olemassa, on myös alatriangularinen, ja sen diagonaaliluvut ovat yhtä kuutioita kuin alkuperäisen
- Lineaarinen järjestelmä Ax = b, kun A on alatriangularinen, ratkeaa eteenpäin substituution avulla. Tämä on suoraviivaisempaa kuin
- Päädiagonaalion arvojärjestys ja ominaisarvot: A:n ominaisarvot ovat sen diagonaalilukuja, mikä pätee myös alatriangularisiin tapauksissa.
- Diagonaalimatriisi on molemmat ylä- ja aladiagonaalinen.
- Yksikköalatriangularinen matriisi on alatria, jossa diagonaalilla on ykkösiä ja muut ovat nollia ylhäällä.
Vähemmän yleinen, mutta havainnollinen esimerkki:
A = [4 0 0 0; 3 5 0 0; -1 2 6 0; 7 -2 4 1].
Tässä kaikki elementit ylädiagonaalin yläpuolella ovat nollia, ja diagonaaliluvut ovat 4, 5, 6, 1.