alapdimenzió

Az alapdimenzió olyan fogalom a geometriában és a lineáris algebrában, amely a megfigyelt objektum legkisebb olyan affínis tér dimenzióját adja meg, amelyben az objektum teljes mértékben megjeleníthető vagy leírható. Ezt az értéket az objektum affinitív burkolatának dimenziójaként értelmezik. Magyar nyelvű források gyakran az intrinsic vagy embedding dimenzióval hozzák összefüggésbe; a pontos terminológia területenként eltérhet.

Példák: A háromdimenziós térben egy egyenes alapdimenziója 1, mert az egyenes egy 1. dimenziós affín részhalmazban is megadható. Egy sík alapdimenziója 2. Ha egy görbe egy síkba helyezhető, akkor alapdimenziója 2; hogyan viszont semmilyen síkba sem tehető be, akkor alapdimenziója 3, az adott tér dimenziója.

Számítása: adott X ⊂ R^d objektum esetén az alapdimenzió az affinitív hullának dimenziója, amit a X-ből kiinduló pontok közötti különbségek lineáris rangjának meghatározásával számíthatunk. Konkrétan, ha x0, x1, ..., xk elemekből álló X esetén a vektorok (xi − x0) rangja r, akkor az alapdimenzió r.

Kapcsolat a környezet dimenziójával: az alapdimenzió legfeljebb az ambient tér dimenziója, de gyakran ennél kisebb. Az adatelemzésben hasonló fogalom az intrinsic vagy embedding dimenzió, amely a megfigyelt adathalmaz belső szerkezetének dimenzióját adja meg. Ebben a kontextusban az alapdimenzió mérése PCA vagy más algebrás módszerekkel történhet.

Megjegyzések: a kifejezés használata forrásonként eltérő lehet; fontos tisztázni, hogy alapdimenzió alatt az affinitív burkolat dimenzióját értjük-e a vizsgált kontextusban.