additiivuseks

Additiivsus ehk additiivsuse mõiste on matemaatiline omadus, mille puhul suurus või funktsioon lisab eraldi osadest moodustunud ühendiga sama summa. Tegelikku defineerimist saab kirjeldada järgmiselt: kui A ja B on omavahel eraldatud (A ∩ B = ∅), siis f(A ∪ B) = f(A) + f(B). Sellest saab edasi laiendada kahe osa puhul kehtivust finiiadditiivsusega ning loendamatult paljude osade puhul σ-additiivsusega.

Finiitne ja σ-additiivsus. Kui omadus kehtib ainult kahe osa puhul, nimetatakse seda finiiadditiivseks. Kui see kehtib ka loendamatute, järjestatud osade kogumi puhul (A1, A2, …) ja abil on A = ∪i Ai ning aiiddisjal disjointsetena, siis f(A) = ∑i f(Ai); see on σ-additiivsus (või countable additivity).

Tuntuimad näited. Mõõdud ja tõenäosus on tihti σ-additiivsed. Näiteks Lebesgue’i mõõt μ ja tõenäosusmõõt P rahuldavad μ(∪i Ai) = ∑i μ(Ai) ja P(∪i Ai) = ∑i P(Ai) nendele Ai, mis on üksteisest eraldatud. Ka loendamisest tulenev mõõt m(A) = |A| on σ-additiivne: loendatavate, eraldatud osade ühikogumiga vastab m(∪i Ai) = ∑i m(Ai).

Rakendused ja tähendus. Additiivsus on keskne mõiste valdkondades nagu tõenäosus ja statistika, mõõtmine ja integratsioon. See eristab mõõtusid ja funktsioone, mis jagavad ühtlaselt väärtusi ning mis lubavad ühendite väärtuste eraldatud summeerimist. Sõna “additiivseks” (translatiivses vormis “additiivuseks”) kasutatakse Esti keeles lausetes, kus kirjeldatakse mingi omaduse muutumist või loomist “additiivseks”.