Zylinderkoordinatensystem

Das Zylinderkoordinatensystem ist ein Koordinatensystem der dreidimensionalen Geometrie, das jedem Punkt im Raum drei Koordinaten zuordnet: r, φ und z. Hierbei ist r der Abstand des Punktes von der z-Achse, φ der Azimutwinkel gemessen um die z-Achse, und z die Höhe des Punktes entlang der z-Achse.

Beziehung zu kartesischen Koordinaten: Aus den Zylinderkoordinaten ergeben sich x = r cos φ, y = r sin φ, z = z. Umgekehrt gilt r = sqrt(x^2 + y^2) und φ = atan2(y, x). Typische Wertebereiche sind r ≥ 0 und φ im Intervall [0, 2π) (manchmal auch (−π, π] je nach Konvention).

Geometrische Eigenschaften und Flächen: Konstant r beschreibt eine Zylinderoberfläche around der z-Achse; konstant φ beschreibt eine Halbebene durch die z-Achse; konstant z beschreibt Ebenen parallel zur XY-Ebene. Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten lautet dV = r dr dφ dz.

Anwendungen: Das System eignet sich besonders für Probleme mit Rotationssymmetrie um die z-Achse, etwa in Rohrleitungen, zylindrischen Schächten, Strömungs- oder Felddarstellungen in Zylindergeometrien.

Formeln für Ableitungen: Gradient ∇f = ∂f/∂r e_r + (1/r) ∂f/∂φ e_φ + ∂f/∂z e_z. Divergenz ∇·A = (1/r) ∂(r A_r)/∂r + (1/r) ∂A_φ/∂φ + ∂A_z/∂z. Laplacian ∇²f = (1/r) ∂/∂r (r ∂f/∂r) + (1/r^2) ∂²f/∂φ² + ∂²f/∂z².