Yläkolmiomatriiseja

Yläkolmiomatriisi on neliömatriisi, jossa kaikki päädiagonaalin alapuolella olevat alkiot ovat nollia. Toisin sanoen, matriisin alkio $a_{ij}$ on nolla, kun $i > j$. Päädiagonaalin alkiot voivat olla mitä tahansa lukuja, mukaan lukien nolla. Esimerkki 3x3 yläkolmiomatriisista olisi sellainen, jossa alkiot $a_{21}$, $a_{31}$, ja $a_{32}$ ovat nollia.

Yläkolmiomatriiseilla on useita merkityksiä ja sovelluksia lineaarialgebrassa. Yksi keskeinen ominaisuus on, että niiden determinantti on päädiagonaalin alkioiden tulo. Tämä tekee determinantin laskemisesta helppoa. Yläkolmiomatriisit ovat tärkeitä myös matriisihajotelmissa, kuten LU-hajotelmassa, jossa matriisi hajotetaan alas- ja yläkolmiomatriisien tuloksi.

Yläkolmiomatriisien ratkaiseminen on usein tehokkaampaa kuin yleisten matriisien. Erityisesti lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemisessa yläkolmiomuotoinen matriisi mahdollistaa takaisinsijoituksen, jolla yhtälöt ratkaistaan systemaattisesti. Yläkolmiomatriiseja käytetään myös mm. eigenvalue-ongelmien ratkaisemisessa sekä numeerisessa lineaarialgebrassa.

---