Yksikköquaternionit

Yksikköquaternionit ovat nelialkioita, joiden normi on yksi. Niitä käytetään yleisesti kolmiulotteisessa avaruudessa esineiden orientaation esittämiseen. Yksikköquaternionit tarjoavat useita etuja verrattuna muihin orientaation esitystapoihin, kuten Eulerin kulmiin tai rotaatiomatriiseihin. Yksi merkittävä etu on se, että ne eivät kärsi Gimbal lock -ilmiöstä, joka voi esiintyä Eulerin kulmilla. Lisäksi yksikköquaternionien yhdistäminen rotaatioiden ketjuttamiseksi on laskennallisesti tehokkaampaa kuin rotaatiomatriisien kertolasku.

Yksikköquaternion on muotoa $q = w + xi + yj + zk$, missä $w, x, y, z$ ovat reaalilukuja ja $i, j, k$ ovat imaginaariyksiköitä, jotka noudattavat seuraavia sääntöjä: $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$, $ij = k$, $ji = -k$, $jk = i$, $kj = -i$, $ki = j$, $ik = -j$. Yksikköquaternionin normi on $|q| = \sqrt{w^2 + x^2 + y^2 + z^2}$. Kun normi on yksi, quaternionia kutsutaan yksikköquaternioniksi.

Yksikköquaternionia voidaan tulkita rotaationa kolmiulotteisessa avaruudessa. Jos yksikköquaternion $q = w + xi + yj + zk$ esittää rotaatiota, niin vektori $v = v_x i + v_y j + v_z k$ kohdeavaruudessa saadaan laskemalla $v' = qvq^{-1}$, missä $q^{-1}$ on quaternionin $q$ käänteisluku. Yksikköquaternionin käänteisluku on sen konjugaatti, joka on $q^* = w - xi - yj - zk$. Rotaation esittäminen yksikköquaternionilla on tehokas tapa käsitellä kolmiulotteisia orientaatioita monissa sovelluksissa, kuten tietokonegrafiikassa, robotiikassa ja navigaatiojärjestelmissä.