Yhtälöjärjestelmät

Yhtälöjärjestelmät ovat joukko toisiinsa liittyviä yhtälöitä, joissa on useita tuntemattomia. Ratkaisuksi tarkoitetaan arvojen asettamista, jotka täyttävät kaikki yhtälöt samanaikaisesti. Yleinen jako jaetaan lineaarisiin ja epälineaarisiin järjestelmiin. Lineaariset järjestelmät koostuvat lineaarisista yhtälöistä ja ne voidaan esittää matriisimuodossa A x = b, jossa A on kertoimia sisältävä matriisi, x tuntemattomien vektori ja b oikea puoli. Homogeeninen järjestelmä on b = 0. Lineaariset järjestelmät voivat olla ristiriitaisia tai yhteensopivia. Yhteensopiva järjestelmä voi olla täsmällisesti ratkaistu (yksittäinen ratkaisu) tai sillä voi olla äärettömän monta ratkaisua.

Lineaarisissa järjestelmissä ratkaisujen olemassaolon ja lukumäärän määrittää matriisi ja augmented-matriisi. Jos rank(A) = rank([A|b]) ja rank(A) = n, järjestelmä on täsmällisesti ratkaistu; jos rank(A) < n, ratkaisuja on äärettömän monta; jos rank(A) < rank([A|b]), järjestelmä on ristiriitainen. Näin voidaan myös hahmottaa, onko järjestelmä yhdenmukainen vai ei.

Analyyttiset ja matemaattiset menetelmät sisältävät substitutionin ja eliminoinnin sekä matriisimenetelmät kuten Gaussian elimination (rivien vähentäminen) ja augmented-matriisin [A|b] käsittelyn rivikorotuksin. Cramerin sääntö pätee, kun järjestelmä on n x n ja determinant ei ole nolla. Suuremmille tai hankalille järjestelmille käytetään numeerisia menetelmiä, kuten LU- ja QR-dekompositio tai iteratiivisia menetelmiä.

Epätasaiset tai epälineaariset järjestelmät ratkaistaan usein numeerisesti Newtonin menetelmän tai muiden iteratiivisten lähestymistapojen avulla. Käytännössä yhtälöjärjestelmät ovat keskeisiä monilla aloilla, kuten fysiikassa, tekniikassa, taloustieteessä ja tietojenkäsittelyssä. Historiaan liittyy merkittäviä nimeäviä menetelmiä Gaussilta ja Cramerilta.