Vektoritason

Vektoritaso on lineaarialgebran käsite, joka kuvaa kahden vektorin hallinnoiman tilan. Olkoon V vektoritila ja u sekä v vektoreita V:stä. Vektoritaso tai sen span on spa n{u, v} = {a u + b v | a, b ∈ F}, missä F on kenttä (yleensä reaalinen tai kompleksinen). Tämä kuvaa kaikkien näiden vektorien lineaaristen yhdistelmien muodostamaa joukkoa.

Riippuvuudesta riippuen span{u, v} voi olla: {0}-aliryhmä, jos sekä u että v ovat nollavektoreita; suora, jos u ja v ovat lineaarisesti riippuvia mutta eivät ole sekä nollavektoreita; tai kaksidimensionalinen alifunktio, eli taso (plane), jos u ja v ovat lineaarisesti riippumattomia. Tällöin span{u, v} on kaksiulotteinen aliavaruus ja sen basis voidaan valita {u, v} (ja sen jäsenten määrää kutsutaan sen dimensioiksi).

Taso on siis läsnä origon kautta kulkevana tasopiniona, kun se on spannut kahdesta vektorista. Mikäli halutaan planea, joka ei kulje origon kautta, voidaan kuvailla affiinina tasoa p + span{u, v}, missä p on jokin piste avaruudessa.

Esimerkki: R^3:ssa vektorit e1 = (1, 0, 0) ja e2 = (0, 1, 0) span-ovat xy-tason, joka on kolmessaulotteisessa ympäristössä taso origon kautta. Jos taas valitaan piste p ≔ (0,0,1) ja span{e1, e2}, saadaan affiini taso, joka on parallelinen xy-tasolle mutta siirtynyt z-akselilla.

Vektoritaso on olennainen käsite lineaarialgebrassa, kun tarkastellaan aliavaruuksia, dimensioita ja planeita monissa konteksteissa.