Vektorijoukkoja

Vektorijoukkoja (vektorijoukko on joukko vektoreita) ovat peruskäsitteitä lineaarialgebrassa. Oletetaan, että V on vektoriavaruus, jonka päällä toimii kenttä F. Joukko S ⊆ V on vektorijoukko. Sen spanni (lineaarinen yhdistelmä) määritellään siten, että span(S) = { α1 v1 + … + αk vk | k ∈ N, vi ∈ S, αi ∈ F }. Span(S) on V:n alijoukko ja pienin subspace, joka sisältää S.

Jos span(S) = W ⊆ V, sanotaan, että S generoi W tai että S spannaa W. Kanta on erityinen vektorijoukko: S on kanta V, kun S on lineaarisesti riippumaton ja span(S) = V. Kantana määrittelemä V saa dimensionsa: dim(V) on kantajoukon koko, ja kaikilla finit-­diametrisillä V:llä kaikilla kantajoukoilla on sama koko.

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus ovat keskeisiä ominaisuuksia. S on lineaarisesti riippumaton, jos ainoat ratkaisut α1 v1 + … + αk vk = 0 (viimeinen nollayhtälö) ovat kaikki αi = 0. Muussa tapauksessa S on lineaarisesti riippuva. Kanta yhdistää nämä ominaisuudet: se on sekä riippumaton että spans arh. Subspace voidaan usein kuvailla kankkanaan: V on spanni jostakin kantajoukosta.

Esimerkkejä: R^2:n standardikanta on { (1,0), (0,1) }. Joukko { (1,2) } spannaa yhden suhteen suoran, jonka kulmakerroin on 2. Tiedostamalla kantat määritellään usein V:n dimensio, ja mitkä vektorit ovat riittäviä muodostamaan koko tilan. Vektorijoukkoja käytetään siten yleisten alijoukkojen, subtilojen ja lineaaristen riippuvuuksien hahmottamiseen.