Vektorifunktioiden

Vektorifunktioiden käsite kuvaa funktioita, jotka palauttavat vektorin. Olkoon I jokin reaalijoukko (esimerkiksi aikaväli). Tällöin vektorifunktio r: I → R^n määrittää n koordinaattifunktiota x_1(t), ..., x_n(t) siten että r(t) = (x_1(t), ..., x_n(t)). Yleisimmin tarkastellaan kaks- tai kolmiulotteisia tapauksia: r(t) = (x(t), y(t)) tai r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

Ominaisuudet ja periaatteet. Jos kukin komponentti x_i on jatkuva, niin myös r on jatkuva. Jos kukin x_i on derivoitavissa, on r derivoitavissa ja r'(t) = (x_1'(t), ..., x_n'(t)). Derivaatta on vektoroitu käsite; sen tulos voidaan tulkita nopeutena (ja toisaalta r''(t) on kiihtyvyys). Vektorifunktio voi kuvata polun geometrian parametrisoitua kuvausta.

Pituus, nopeus ja parametrisointi. Polun pituus ajanjaksolla [a,b] on ∫_a^b |r'(t)| dt, missä |·| tarkoittaa Euklidista normia. Nopeus on |r'(t)|. Parametrisointi voi muuttua without geometrian muuttumista, esimerkiksi käyttämällä uutta parametria φ(t); polku pysyy sama, vaikka ajan tapa muuttuu.

Esimerkit. R(t) = (cos t, sin t) kuvaa ympyrää, R(t) = (t, t^2) kuvaa paraabelia.

Sovellukset. Vektorifunktioita käytetään liikemäärän kuvaamiseen fysiikassa, animaatioissa tietokonegrafiikassa, robotiikassa sekä erilaisten reittien suunnittelussa. Lineaariset integraalit F · dr määrittävät polun yli kulkevan työn tai massan jakautumisen.