Vastausjoukko

Vastausjoukko on matematiikassa se joukko alkiota, jotka täyttävät annetun ehdon, kuten yhden yhtälön, järjestelmän tai epäyhtälön. Se määritellään yleensä jonkin sovellettavan alkijoukon eli domainin D sisälle siten, että P(x) on tosi. Vastausjoukko merkitään usein S = { x ∈ D | P(x) }, eli kaikkien alkojen x joukosta D, jotka täyttävät ehdon P.

Vastausjoukko voi olla äärellinen, äärettömän suuri tai tyhjä, riippuen ehdosta ja domainista. Esimerkiksi reaalilukujen tapauksessa ratkaisujoukko voi olla joukko erillisiä arvoja, kokonaislukujen tapauksessa alue tai joukko, tai epäyhtälön tapauksessa ehto voi kuvata erillisiä intervalleja.

Esimerkkejä:

- Ratkaise x^2 − 4 = 0 reaaliluvuilla. Vastausjoukko on { −2, 2 }.

- Ratkaise järjestelmä 2x + 3y = 6 ja x − y = 1. Ratkaisu on (x, y) = (9/5, 4/5), joten vastausjoukko on { (9/5, 4/5) }.

Vastausjoukko eroaa usein yksittäisestä ratkaisusta: se kuvastaa kaikkien mahdollisten arvojen tai avioiden kokoelmaa, jotka toteuttavat ehdon. Epäyhtälöille vastausjoukko voi olla koko interval, rajoitettu tai tyhjä, riippuen ehdosta. Vastausjoukko on keskeinen käsite sekä algebra- että analyysitehtävissä, ja sitä käsitellään usein sekä symbolisesti setteinä että numerisesti.