Vakioaliryhmiä

Vakioaliryhmiä on käsite, jota käytetään ryhmien ja niiden toimintojen yhteydessä kuvaamaan aliryhmiä, jotka säilyvät muuttumattomina tietyn toiminnan tai automorfian nojalla. Määritelmä: olkoon G ryhmä ja F ryhmä, joka toimii G:llä joko G:n itsensä kautta konjugaatioina tai jollakin muulla automorfia- tai toimintamuodolla. Aliryhmä H ≤ G on vakioaliryhmä (vakioaliryhmiä) jos jokaiselle g ∈ G pätee gHg^{-1} = H (tai yleisemmin φ(H) = H kaikille toiminnalle φ ∈ F). Tällöin H säilyy kokonaisuudessaan toimintojen vaikutuksesta.

Kun toiminta on konjugaatio, vakioaliryhmiä kutsutaan tavallisesti normaaliryhmiksi. Toisin sanoen normaaliryhmä on vakioaliryhmä, joka on invariantti konjugaatioiden suhteen. Vakioaliryhmät voivat siis olla laajempi käsite kuin normaaliryhmät, jos tarkastellaan muita toimintoja kuin konjugaatioita.

Ominaisuudet: vakioaliryhmien joukko Sub_G riippuvaisista toiminnasta muodostaa usein aliryhmäverkon, joka on suljettu leikkausten ja generateerien suhteen invarianttien aliryhmien osalta. Niiden ominaisuudet heijastavat sekä ryhmän rakenteen että valitun toiminnan luonnetta. Esimerkiksi kaikkien subryhmien yksinkertaiset normaaliryhmät A3 ja muut voivat toimia vakioaliryhminä konjugaatio-opin yhteydessä tietyissä ryhmissä.

Esimerkkejä: missä tahansa Ryhmässä G kaikki epätyhjät, ei-triviaalit aliryhmät eivät välttämättä ole vakioaliryhmiä konjugaatio-opin mukaan. Toisaalta S3:ssa {e}, A3 ja S3 ovat normaaliryhmiä, joten ne ovat vakioaliryhmiä konjugaatio-oletuksen alla.

Näytteitä ja lisätietoja käsittelevät ryhmien teoria ja invarianttiteoria.

See also: normaaliryhmä, invariantti aliryhmä, ryhmien toimintateoria.