Underdampedtilanteet

Underdampedtilanteet ovat tilanteita, joissa lineaarisen toisen kertaluvun järjestelmän vaimennus on lievä, eikä järjestelmä saavuta tasapainoa ilman oskillointia. Tällöin vaste palaa kohti tasapainoa useiden pienentyvien värähtelyjen kautta ennen lopullista asettumista.

Matemaattinen perusta voidaan kuvata massam-kalvolla, jonka liike tapahtuu x(t)̈ + (c/m) x(t)̇ + (k/m) x(t) = 0. Määritellään ω0 = sqrt(k/m) ja vaimennuskertoimen ζ = c/(2 sqrt(mk)) = (c/2m)/ω0. Underdampedtilanteet tarkoittavat ζ < 1, eli c^2 < 4mk. Dynaaminen vaste on x(t) = e^{-ζ ω0 t} [A cos(ωd t) + B sin(ωd t)], missä ωd = ω0 sqrt(1 − ζ^2) on vaimennetun värähtelyn taajuus.

Ominaisuudet: värähtelyt ovat vaimentuneet aikaisin, mutta ne jatkuvat lyhyen ajan puitteissa ja pienenevät eksponentiaalisesti samalla kun niitä seuraa ympäristö. Vasteen ylärajaeristyksen (kokoamispisteet) ajassa noudattavat t_n ≈ (π + 2πn)/ωd. Energiatila pienenee noin e^{−2 ζ ω0 t}. Step-virrissä tai voiman muutoksessa underdampedtilanteet aiheuttavat yliviritystä (overshoot) ja useita alkutilanteen ympärillä toistuvia oskillointeja ennen pysähtymistä.

Sovellukset: mekaniset järjestelmät kuten massa–jousi–vaimennin (esim. ajoneuvon jousitus) sekä sähköiset RLC-silmukat voivat osoittaa underdampedtilanteita, kun vastus- tai impedanssivaimennus on alhaisempi kuin kriittinen. Vastaavat ilmiöt ovat keskeisiä säätöteoriassa, mekaniikassa ja elektroniikassa. Verrattuna kriittiseen vaimennukseen ja liialliseseen vaimennukseen underdampedtilanteet tuottavat sekä käyttö- että toleranssikysymyksiä osoittavan vasteen.