Underdampedtilanteessa

Underdampedtilanteessa viittaa toisen asteen lineaarisen dynaamisen järjestelmän tilaan, jossa vaimennuskerroin ζ on pienempi kuin yksi. Tällöin vaste alkaa jaksollisesti ja sen amplitudi pienenee ajan kuluessa. Järjestelmä reagoi sekä luonnostaan että ulkoisiin voimiin siten, että tärinät ovat läsnä, kunnes ne vaimenevat.

Yleinen matemaattinen malli on m x'' + c x' + k x = F(t), missä m on massa, c viskoosi vaimennus, k jousivastus ja F(t) ulkoinen voima. Vaimennus koostuu ζ = c/(2√(mk)) ja luonnollinen taajuus ω_n = √(k/m). Vaimennuksen pienuudesta seuraa taajuus ω_d = ω_n√(1−ζ^2) sekä vähenevä tärinä.

Homogeenisen vastauksen muoto on x_h(t) = e^{−ζ ω_n t} [A cos(ω_d t) + B sin(ω_d t)], jolloin amplitudi pienenee exponentialisesti vaimennuskerroin mukaan. Kun ulkoinen voima on esimerkiksi askellukseen liittyvä F(t) = 1 (askelei), vaste pyritään kohti vakiotuloa ja siihen liittyy ylilyönteitä. Ylilyönti M_p = exp(−πζ/√(1−ζ^2)) prosentteina. Puolustus- tai laskeutumisaika eli settling time t_s ≈ 4/(ζ ω_n) 2-prosenttisen tarkkuuden mukaan.

Sovelluksia esiintyy sekä mekaanisissa että sähköisissä järjestelmissä, kuten RLC-kirjoissa ja autojen jousitusjärjestelmissä, joissa kevyt vaimennus aiheuttaa näkyviä, mutta hallittuja tärinöitä. Underdampedtilanteessa tarvitsee usein tasapainottaa nopeasti reagointi ja ylimääräisen ylilyönnin välttäminen – liian pieni ζ johtaa liiallisiin tärinöihin, liian suuri ζ taas hidastaa vasteen reaktioaikaa ilman tärinöitä.

Vertaillen, underdamped tilanne eroaa kriittisestä vaimennuksesta (ζ = 1), jossa ei ole tärinää, sekä ylivaimennuksesta (ζ > 1), jossa vaste palautuu ilman harjoitettua ylä- ja alamäkeä.