Tõenäosusmõõt

Tõenäosusmõõt on matemaatiline mõiste, mis määrab sündmuse tõenäosuse kindlal tõenäosusruumil. See on P: F → [0,1], kus Ω on alusruum ja F on σ–algebra selle Ω-l asuvate sündmuste kogumist. Tõenäosusmõõt koos Ω, F ja P-ga moodustab tõenäusruumi (Ω, F, P).

Kolmogorovi aksioomidid: P(Ω) = 1; P(A) ≥ 0 kõigile A ∈ F; ja kui A1, A2, … on disjunkted sündmused F-s, siis P(∪i Ai) = ∑i P(Ai). Need omadused tagavad, et sündmuste tõenäosused on kooskõlalised ning neid saab arvestada suurte ühendite korral. Tõenäosusmõõt võimaldab defineerida ja uurida erinevaid jaotusi ning nende omadusi, näiteks jaotuste järjesteid, densiteete ja ootust.

Näited: Discrete näide – Ω = {ω1, …, ωn} ja P({ωi}) = pi, kus ∑i pi = 1; siis iga sündmus A ⊆ Ω saab P(A) = ∑i∈I pi, kui A = {ωi : i ∈ I}. Joonline näide – [0,1] koos Lebesgue’i mõõduga annab ühtlase jaotuse, kus P([a,b]) = b − a. Dirac-mõõt δx määrab massi punktile x: P(A) = 1, kui x ∈ A, ja 0 muul juhul. Üldises mõttes on tõenäosusmõõt kaasatud ka densiteedide ja tiheduse kirjeldamisse ning võimaldab P kaudu defineerida oodatuse E[X] = ∫ X dP.

Tõenäosusmõõt on keskne osa tõenäosus- ja statisticsteooriast ning formsab alusanalüüside ja modelleerimise jaoks.