Tæthedsmatricen

Tæthedsmatricen, eller densitetsmatricen, er i kvantemekanikken en operator ρ, der beskriver enten en statistisk blanding af kvantetilstande eller tilstanden af et delsystem i et større system. Den giver en generel ramme for at beskrive både rene tilstande og mere generelle blandinger, hvor man ikke kender fuld information om systemet.

Matematisk er ρ en Hermitesk og positiv semidefinit matrix med spor lig med 1. For en ensemble af tilstande {|ψi⟩} med sandsynligheder pi er ρ = Σi pi |ψi⟩⟨ψi|. Et rent tilstandssymbol |ψ⟩ giver ρ = |ψ⟩⟨ψ|, og i så fald opfylder ρ^2 = ρ og Tr(ρ^2) = 1. Generelle blandinger opfylder 0 < Tr(ρ^2) < 1.

For en observabel A giver den forventede værdi ⟨A⟩ = Tr(ρA). Reducerede tæthedermatricer beskriver delsystemer ved partiiel trace: ρ_A = Tr_B(ρ_AB). Dette er essentielt for at håndtere åbne kvantesystemer og decoherence.

Fornumt er von Neumann-entropien S(ρ) = −Tr(ρ log ρ), som måler blandingsgraden. S(ρ) = 0 for rene tilstande og større end 0 for blandinger. Et eksempel er ρ = I/2, den maksimalt blandede tilstand for et spin-1/2-system, hvor S(ρ) = log 2.

Anvendelserne omfatter kvanteinformation, åbne systemer, måling og decoherence, samt teoretiske beskrivelser af statiske og dynamiske kvantetilstande. Tæthedsmatricen udvider dermed kvantebeskrivelsen til situationer med partiell information og sammensatte systemer.