Tychonofftétel

A Tychonoff-tétel (Tychonofftétel) a általános topológia egyik alapvető eredménye. Legyen I indexhalmaz, és minden i ∈ I esetében X_i kompakt topológiai tér. Ekkor az X = ∏_{i∈I} X_i a termék-topológiában kompakt. Másképp fogalmazva: bármely család kompakt terek szorzata végtelen indexelés mellett is kompakt marad.

A bizonyítás általában az Axiom of Choice (AC) használatával történik; a tétel ZF-ben általában nem bizonyítható választási axióma nélkül. Változatai, például ultrafilter-lemma formájában, gyakran felhasználhatók a bizonyításban.

Különösen gyakran emlegetett példája a Tychonov-kocka: [0,1]^I, azaz az egységintervallumok I-számú ismétlődéseinek terméke, amely minden index-sokszorra kompakt. Ennek következményeként végtelen szorzatokra is kompaktosságot kapunk.

Kiemelt alkalmazások közé tartozik a Banach–Alaoglu-tétel: a normálték dual egységgömbje gyenge- csillag-topológiában kompakt, ami a tétel felhasználásával bizonyítható. Ez a kapcsolatrendszer alapvető eszközzé teszi a funkcionál-analízis bizonyításait.

Historikailag Andrey Nikolajevics Tikhonov (Tychonov) írta le a tételt a 20. század közepén; mindmáig a topológia egyik központi eszköze, amely lehetővé teszi a kompaktosság kezelését végtelen termékek esetén.