Tvåpunktskorrelation

Tvåpunktskorrelation, eller tvåpunkts korrelationsfunktion, är ett mått på hur sannolikheten att hitta två datapunkter med ett visst avstånd skiljer sig från vad som gäller för en slumpfördelning. Om man betecknar densitetsavvikelsen δ(x) = (ρ(x) - ⟨ρ⟩)/⟨ρ⟩, där ρ är tätheten, definieras tvåpunktskorrelationen som xi(r) = ⟨δ(x) δ(x + r)⟩. För ett homogent och isotropt fält beror xi endast på avståndet r = |r|.

Fältet där xi(r) > 0 har en ökad sannolikhet att hitta par av punkter på avståndet r jämfört med slumpen; xi(r) < 0 indikerar minskad sannolikhet. För ett helt slumpmässigt (Poisson) fält är xi(r) = 0 för r ≠ 0.

Användningar: Tvåpunktskorrelationen används inom kosmologi för att beskriva hur galaxer klustrar på olika skalor, och som verktyg för att koppla observationer till teorier om strukturbildning. Den kan följas av en kraftlagsform xi(r) ≈ (r/r0)^(-γ) över vissa skalor, där γ ofta ligger kring 1,8 i galaxsurveys.

Beräkning och estimatorer: från en katalog av punkter jämförs antal par i olika avståndsbin med ett slumpkatalog. Den vanligaste estimatorn är Landy–Szalay xi(r) = (DD - 2 DR + RR)/RR, där DD är antalet datapars i bin, DR datapars till slump och RR random-par i samma bin. Randomkatalogen speglar surveygeometrin och randvillkoren.

Relation till kraftspektrum: xi(r) och kraftspektrumet P(k) är Fouriertransformer av varandra. För isotropt fall xi(r) = (1/2π^2) ∫_0^∞ P(k) k^2 (sin(kr)/(kr)) dk. Begränsad information: tvåpunktskorrelationen beskriver endast parvis struktur och fångar inte högre ordningars mönster.