Trigonometriassa

Trigonometriassa tutkitaan suhteita kulmien ja sivujen välillä sekä ympyrän ominaisuuksien kanssa. Keskeisiä ovat trigonometristen funktioiden sin, cos ja tan sekä niiden käännössuhteet csc, sec ja cot. Nämä funktiot voidaan määritellä sekä oikean kolmion suhteina että yksikköympyrän koordinaatteina. Kulman mittauksessa käytetään yleisesti radiaania, jossa π radiaania vastaa 180 astetta; radian käyttö yksinkertaistaa laskentaa ja identiteettejä.

Trigonometrian juuret ulottuvat muinaiskreikkalaisten tähtitieteilijöiden töihin sekä intialaisten ja islamilaisen matematiikan panoksiin. Nimi tulee kreikankielisistä sanoista tri- (kolme) ja gonia (kulma). Modernit kaavat ja menetelmät kehittyivät antiikin jälkeen.

Perusmääritelmä: Funktiot voidaan määritellä yksikköympyrästä tai oikean kolmion suhteista. Sine x antaa ympyrän pisteen y-koordinaatin, cosine x x-koordinaatin ja tangent x suhteen sin x ja cos x. Csc x = 1/sin x, sec x = 1/cos x, cot x = 1/tan x. Funktiot ovat jaksollisia ja jatkuvia määritellyillä arvoalueilla; sin ja cos ovat 2π-jaksollisia, tan π-jaksollinen.

Peruslaskukaavat: sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b; cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b; tan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b). Sin 2x = 2 sin x cos x; cos 2x = cos^2 x − sin^2 x = 1 − 2 sin^2 x = 2 cos^2 x − 1. Pythagorasaiden identiteetti sin^2 x + cos^2 x = 1.

Sovellukset: trigonometria erottuu keskeiseksi työkaluksi geometriassa ja kolmiolaskennassa, navigoinnissa, fysiikassa, elektroniikassa sekä signaalinkäsittelyssä ja tietokonegrafiikassa. Se kuvaa aaltoja, värähtelyjä sekä ympyrän ja suorakulmaisten kolmioiden vuorovaikutuksia luvussa ja käytännön malleissa.