yksikköympyrästä

Yksikköympyrä on kaksiulotteinen ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on 1. Sillä on yhtälö x^2 + y^2 = 1; kaikki sen pisteet ovat yhtä kaukana origosta.

Parametrinen kuvaus: jokainen kulma θ ∈ ℝ määrittää pisteen (cos θ, sin θ). Ympyrän pisteet ovat siis kartoitettavissa kulmasta θ mod 2π, ja sama piste voi vastata useita θ-arvoja kuten θ ja θ + 2πk.

Rooli trigonometrisen funktion määrittelyssä: cos θ ja sin θ ovat pisteen x- ja y-koordinaatit. Pythagora-lain muodossa cos^2 θ + sin^2 θ = 1. Ympyrää käytetään myös rotaatioiden visuaalisessa tulkinnassa: pisteen asento muuttuu kulman θ mukaan, mikä vastaa 2D-tilan kiertoa.

Kompleksilukujen näkökulmassa yksikköympyrä muodostuu kompleks-luvuista z, joiden moduuli on 1, eli |z| = 1. Eulerin kaavan mukaan e^{iθ} = cos θ + i sin θ tuottaa ympyrän pisteen, kun otetaan θ:n arvo.

Käyttökohteita on laajasti: yksikköympyrä toimii perusväylänä trigonometristen funktioiden geometrian ymmärtämiseen, identiteettien todentamiseen sekä rotaatioiden ja Fourier-analyysin kontekstissa. Se toimii yhdistävänä kuvana geometrian ja algebran välillä sekä helpottaa käsiteymmärrystä erilaisissa matemaattisissa yhteyksissä.