Transformatjonsmatrisen

Transformatjonsmatrisen er en matrise som representerer en lineær transformasjon T: V → W mellom finit dimensjonale vektorrom over et felt F, med hensyn til basisene B_V i V og B_W i W. Matrisen kalles ofte [T]_{B_W,B_V}. Den har kolonnene som koordinatvektorene til T(v_j) i basen B_W, der v_j er vektorene i B_V. Hvis basene er standardbasisene, stemmer [T] med den koordinatrepresentasjonen som følger direkte fra T.

For en vektor v ∈ V, med koordinater [v]_{B_V}, gjelder [T(v)]_{B_W} = [T]_{B_W,B_V} [v]_{B_V}. Når B_V og B_W er like, omtales matrisen ofte som matrisen til T i basen B, og dens egenskaper reflekterer T. Determinanten gir skalert volumer og invertibilitet følger av at det eksisterer en inverse matrise.

Samme lineære transformasjon kan få forskjellige matriser avhengig av hvilke baser som brukes. Hvis B_V' og B_W' er nye baser for V og W, og P og Q er endringsmatriser som konverterer koordinater mellom basene, så [T]_{B_W',B_V'} = P^{-1} [T]_{B_W,B_V} Q. Dette kalles en likhetstransformasjon for T og viser hvordan representasjonen endres ved bytte av basis.

Egenskaper: Rang av matrisen tilsvarer rang av T, og determinanten (for kvadratisk A) angir invertibilitet og volumenmessig skala ved T. For ei firkantet A gir eigenverdier og spekter innsikt i T sin struktur. Transformatjonsmatrisen er en sentral kobling mellom en lineær transformasjon og dens koordinatrepresentasjon i et valgt basis.