koordinatrepresentasjon

Koordinatrepresentasjon er en måte å uttrykke en vektor i et vektorrom ved hjelp av en valgt basis. Gitt et vektorom V over et felt F og en basis B = {b1, ..., bn}, finnes det unikt tallene a1, ..., an i F slik at v = a1 b1 + … + an bn. Disse tallene kalles koordinatene til v i basen B, og koordinatrepresentasjonen av v blir vektor [v]_B = (a1, ..., an)^T i kolonneform.

Koordinatene er avhengige av valget av basis. For eksempel i R^n med standardbasis E = {e1, ..., en} er koordinatene bare vektorens komponenter. For en annen basis B kan koordinatene av v være helt andre.

Til å beregne koordinatene kan man bruke en endringsmatrise P dersom man kjenner hvordan basen B er uttrykt i standardkoordinatene. Hvis kolonnene i P er de nye basisvektorene b1, ..., bn uttrykt i standardkoordinater, så er [v]_E = P [v]_B, og dermed [v]_B = P^{-1} [v]_E for alle v i V.

Når man arbeider med lineære transformasjoner T: V → V, kan man uttrykke T ved en matrise representasjon [T]_B slik at [T(v)]_B = [T]_B [v]_B. Endringer av basis følger liknende regler: [T]_B = P^{-1} [T]_E P, hvor P er endringsmatrisen mellom basisene.

Koordinatrepresentasjon er sentral i beregninger og løsning av systemer i lineær algebra, og danner grunnlaget for anvendelser som grafikk og simuleringer.